Bevis - R^2 = SSR/SSY

Ber om ursäkt för egotrippandet, nörderiet och den dåliga formateringen. En finare variant finns här. Nedanstående är en förklaring/ett komplement till detta bevis på wolfram.mathworld.com. Observera att den sidan förväxlat....SSR med SSY tror jag.

Alltså lagt ner en veckas slit på det här, och det är därför jag vill publicera. Förstår det knappast är publikfriande, men kan jag bespara någon det här så vill jag göra det.

Med det här kan man alltså bevisa att  (en grej man typ "alltid" använder i statistik) är samma sak som andelen förklarad variation som man har i sitt material.

För att förstå nedanstående resonemang, måste man kunna räkna med väntevärden, summatecken och stickprovsmedelvärden (X med streck över, dvs X-bar). Det är också väldigt bra om man förstått härledningen för regressionslinjen. Definitionerna för  samt SSR och SSY finns med i texten, men det är bra om man vet vad det är. 

Jag har färgkodat de jobbigaste partierna, så man ser vilka uttryck som hör ihop och alltså adderas/subtraheras.

---------------------

Formeln för det uppskattade värdet i regressionslinjen, för varje punkt x_i är:

 kan enligt normalekvationerna skrivas som

 

Alltså:

 kan förlängas med n/n, och sedan skrivas om enligt följande:

Vi introducerar  (alltså n-BAR upphöjt med två, inte nX upphöjt med (-2))

Vi förlänger får ursprungliga uttryck med A/A, och får:

Vi sätter sedan in det fullständiga uttrycket för

Vi börjar med att utveckla uttrycket för

Vi skriver om alla  och möblerar om:

Vi utvecklar uttrycket för :

Alltså kan hela uttrycket skrivas som:

, de två termerna tar ut varandra.

Vi kommer nu att ta summan av alla möjliga :

 och

Vi kommer nu att ta  i kvadrat

Vi tar nu summan av alla kvadrerade :

Vi går nu tillbaks till vårt ursprungliga uttryck för _i :

Vi multiplicerar med y_i:

Vi tar sedan summan av alla :

Vi vill nu, med hjälp av detta, skriva om SSR, dvs sum of squared residuals.

Som följer:

Detta uttryck är dock inte helt korrekt. är förlängt med A²/A², med A/A, och inte över huvud taget. Vi måste förlänga   och .

Alla termer i samma färg hör ihop, och kan antingen adderas eller subtraheras. Vi förenklar:

Vilket kan skrivas som:

Vilket vi kan förenkla enligt följande:

Innan vi fortsätter definierar vi , SSY och , det är termer vi fortsättningsvis kommer att behöva.

Multiplicerar vi SSY med , får vi följande uttryck:

Alltså:

Vilket skulle bevisas.